1. 数学基础知识

在职博士研究生需要具备扎实的数学基础知识，包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等。这些基础知识是进一步学习和研究的基石，对于理解和解决复杂的数学问题至关重要。

微积分

微积分是数学的重要分支，主要研究函数的变化率和积分。在职博士研究生需要掌握微积分的基本概念、定理和计算方法，包括极限、导数、积分等。例如，在物理学、工程学和经济学等领域的研究中，微积分被广泛应用于建立和求解动态模型。

线性代数

线性代数主要研究向量空间、线性变换和矩阵理论。在职博士研究生需要理解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、行列式和线性方程组等，并掌握相关的计算方法和性质。线性代数在数据处理、机器学习和计算机图形学等领域有广泛的应用。

概率论与数理统计

概率论与数理统计是研究随机现象和数据统计规律的数学分支。在职博士研究生需要掌握概率的基本概念、概率分布、数字特征和统计推断等知识。这些知识在金融、保险、生物医学和社会科学等领域的研究中具有重要意义。

2. 数学分析能力

在职博士研究生需要具备较强的数学分析能力，包括逻辑推理、问题抽象和建模、证明和推导等。

逻辑推理

逻辑推理是数学思维的核心。在职博士研究生需要学会运用逻辑规则进行严密的推理，从已知条件推导出结论。这包括掌握演绎推理、归纳推理和反证法等推理方法，并能够灵活运用它们解决各种数学问题。

问题抽象和建模

将实际问题抽象为数学模型是解决复杂问题的关键步骤。在职博士研究生需要具备将实际问题转化为数学语言和模型的能力，识别问题的关键变量和约束条件，并建立相应的数学模型。例如，在工程学中，通过建立数学模型来描述物理系统的行为，从而进行优化和控制。

证明和推导

数学证明是建立数学真理的重要手段。在职博士研究生需要掌握数学证明的基本方法，如直接证明、间接证明和数学归纳法等，并能够运用这些方法进行严谨的推导。证明和推导能力不仅在理论研究中至关重要，也有助于培养批判性思维和深入理解数学概念的能力。

3. 高级数学知识

根据不同的专业方向，在职博士研究生还需要掌握特定的高级数学知识，如偏微分方程、泛函分析、数值分析、最优化理论等。

偏微分方程

偏微分方程是描述多个变量之间关系的数学方程，广泛应用于物理、工程和金融等领域。在职博士研究生需要掌握偏微分方程的基本类型、解法和理论，如波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等。

泛函分析

泛函分析是研究无限维向量空间上的函数和算子的数学分支。在职博士研究生需要理解泛函分析的基本概念，如函数空间、算子理论和谱理论等，并掌握相关的分析方法。泛函分析在量子力学、信号处理和控制系统等领域有重要应用。

数值分析

数值分析是研究数值计算方法的设计、分析和应用的数学分支。在职博士研究生需要掌握数值分析的基本方法，如插值、数值积分、数值微分和常微分方程数值解等，并能够使用计算机进行数值模拟和计算。数值分析在科学计算、工程计算和数据分析等领域有广泛应用。

最优化理论

最优化理论研究在给定约束条件下如何找到最优解的问题。在职博士研究生需要掌握线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等最优化方法，并能够将其应用于实际问题的求解。最优化理论在生产管理、资源分配和经济决策等领域有重要意义。

4. 数学软件和工具

在职博士研究生需要熟练掌握一些数学软件和工具，以便进行复杂的数学计算、数据分析和可视化。

MATLAB

MATLAB是一款广泛用于科学计算和工程仿真的高级编程语言和交互式环境。在职博士研究生需要掌握MATLAB的基本语法、数据结构、函数库和绘图功能，并能够使用MATLAB解决各种数学问题，如数值计算、符号计算、数据可视化等。

Python

Python是一种通用的编程语言，拥有丰富的科学计算库，如NumPy、SciPy和matplotlib等。在职博士研究生需要掌握Python的基本语法和面向对象编程概念，并能够使用相关的科学计算库进行数据处理、数值计算和可视化。

Maple和Mathematica

Maple和Mathematica是两款强大的符号计算软件，能够进行代数运算、微积分、方程求解等符号计算。在职博士研究生需要掌握这两款软件的基本操作和功能，以便进行复杂的数学公式推导和计算。

5. 持续学习和研究能力

在职博士研究生需要具备持续学习和研究的能力，包括自主学习、文献查阅、参加学术会议和研讨会等。

自主学习

在职博士研究生需要不断更新和扩展自己的数学知识，因此需要具备很强的自主学习能力。这包括制定学习计划、选择合适的学习资源（如教材、在线课程和学术论文），并能够独立解决学习过程中遇到的问题。

文献查阅和综述

了解前沿研究动态和掌握已有研究成果是开展高水平研究的前提。在职博士研究生需要学会使用各种学术数据库和搜索引擎，如Web of Science、Google Scholar等，进行文献查阅和综述。通过阅读和分析大量的学术文献，能够把握研究热点和趋势，为自己的研究找到切入点和创新点。

参加学术会议和研讨会

积极参与学术会议和研讨会是拓宽学术视野、与同行交流的重要途径。在职博士研究生需要关注本领域的重要学术会议，争取机会发表自己的研究成果，并与其他研究者进行深入讨论。参加研讨会和学术讲座也有助于了解最新的研究动态和技术进展。

6. 跨学科应用能力

现代科学研究往往涉及多个学科的交叉融合，在职博士研究生需要具备将数学知识应用到其他学科领域的能力。

物理和工程学

在物理和工程学领域，数学是建立模型和进行定量分析的重要工具。在职博士研究生需要将数学知识与物理原理和工程实际相结合，解决诸如力学、电磁学、流体力学和控制系统等方面的问题。

计算机科学和数据科学

随着大数据和人工智能的发展，数学在计算机科学和数据科学中的应用越来越广泛。在职博士研究生需要掌握算法设计、数据挖掘、机器学习和深度学习等领域的数学基础，如概率论、线性代数和优化理论等，并能够使用数学方法解决实际的数据分析和建模问题。

生物学和医学

在生物学和医学领域，数学模型被用于描述生物系统的行为和疾病传播机制。在职博士研究生需要具备将数学应用于生物系统建模、医学图像处理和疾病诊断等方面的能力，如使用微分方程描述生物种群动态、利用概率论进行疾病风险评估等。

经济学和社会科学

在经济学和社会科学中，数学模型帮助分析经济现象和社会行为。在职博士研究生需要掌握微观经济学、宏观经济学和计量经济学中的数学模型，如效用函数、生产函数和回归分析等，并能够运用这些模型进行政策分析和社会现象解释。

7. 沟通和团队协作能力

在职博士研究生不仅需要具备扎实的数学能力，还需要良好的沟通和团队协作能力，以便在多学科团队中有效地开展工作。

学术写作和报告

在职博士研究生需要具备撰写高质量学术论文和报告的能力，能够清晰、准确地阐述自己的研究成果和贡献。这包括掌握学术写作的规范和结构，合理使用数学公式和图表增强表达效果，并能够根据不同的受众调整写作风格。

口头报告和演讲

在学术会议和研讨会上进行口头报告是展示研究成果的重要方式。在职博士研究生需要具备良好的口头表达能力，能够在有限的时间内清晰地介绍自己的研究内容和成果，回答听众的提问，并与其他研究者进行有效的互动。

团队协作

在跨学科研究项目中，在职博士研究生需要与来自不同背景的研究者合作。这要求他们具备良好的团队协作能力，能够理解他人的观点和需求，有效地分工合作，并共同解决研究过程中遇到的问题。

8. 创新和问题解决能力

在职博士研究生需要具备创新思维和解决复杂问题的能力，能够在面对新的挑战时提出新颖的解决方案。

创新思维

创新是推动科学进步的动力。在职博士研究生需要培养创新思维，敢于质疑现有的理论和方法，提出新的研究思路和见解。这包括从不同角度思考问题、发现潜在的研究问题，并尝试用新的数学方法或技术解决实际问题。

复杂问题解决

在职博士研究生在研究和实践中经常会遇到各种复杂的问题，需要具备解决这些问题的能力。这要求他们能够运用所学的数学知识和技能，分析问题的本质，设计合理的解决方案，并通过实践不断调整和优化方案。

在职博士研究生需要具备广泛而深入的数学知识，包括数学基础知识、高级数学知识和跨学科应用能力。他们还需要具备持续学习和研究的能力、良好的沟通和团队协作能力，以及创新和问题解决能力。这些能力的培养不仅有助于他们在学术研究中取得成功，也为他们在职业生涯中应对各种复杂的挑战奠定了坚实的基础。